Question

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
（1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用求导法则求出f（x）的导函数，令f'（x）=0考虑到判别式大于零得到两个极值点，设x₁＜x₂，讨论函数的增减性得到x₁是极大值点，x₂是极小值点；
（2）把x₁，x₂代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x₁）+f（x₂）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2（1+a）x+a．
令f'（x）=0得方程
3x²-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a²-a+1）≥4a＞0，故方程有两个不同实根x₁，x₂
不妨设x₁＜x₂，由f'（x）=3（x-x₁）（x-x₂）可判断f'（x）的符号如下：
当x＜x₁时，f'（x）＞0；
当x₁＜x＜x₂时，f'（x）＜0；
当x＞x₂时，f'（x）＞0
因此x₁是极大值点，x₂是极小值点．
（2）因f（x₁）+f（x₂）≤0，故得不等式x₁³+x₂³-（1+a）（x₁²+x₂²）+a（x₁+x₂）≤0．
即（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]-（1+a）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+a（x₁+x₂）≤0．
又由（I）知

x1+x2= 2 3 (1+a) x1x2= a 3 .

代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
2a²-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤

1

2

（舍去）
因此，当a≥2时，不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立．

点评：考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．