Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为π，且在x=

π

6

处取得最大值．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出它的单调递增区间
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinA=sinB，c=3，f（C）=1，求a，b的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用函数的周期求出ω，利用在x=

π

6

处取得最大值求出φ，得到函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解函数的增区间．
（2）利用正弦定理以及余弦定理已知条件，推出a、b的关系式，即可求解a，b的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为π，ω=

2π

π

=2，
在x=

π

6

处取得最大值，∴2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

．
函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈z）解得，-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈z），
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）的增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈z），
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinA=sinB，
由正弦定理可知：2a=b，…①
∵f（C）=1，∴1=2sin（2C+

π

6

），∴2C+

π

6

=

5π

6

，∴C=

π

3

，
∵c=3，
由余弦定理可得：9=a²+b²-2abcos

π

3

，即9=a²+b²-ab，…②，
解①②可得，a=

3

，b=2

3

．

点评：本题考查了正弦函数的单调性的应用，对于形如y=sin（ωx+φ）的性质，需要把“ωx+φ”作为一个整体，再利用正弦函数的单调性进行求解，考查了整体思想，正弦定理以及余弦定理的应用．