Question

已知正三棱锥S-ABC，斜高与底面ABC的夹角为α，在侧面SAB上有一点P，过P做底面ABC的高，垂足为Q，已知PQ=PS•sinα，求P点轨迹为（　　）

A．圆弧

B．线段

C．抛物线

D．圆

Answer 1

分析：画出正三棱锥S-ABC，作出侧面SAB的斜高SD，找出斜高与底面ABC的夹角为α，过侧面SAB上任意一点P分别作AB与底面ABC的垂线PG，PQ，得到直角三角形后得到关系式PQ=PG•sinα，由已知PQ=PS•sinα，得到PG=PS．从而得到P点在以S为焦点，以AB为准线的抛物线上．

解答：解：如图，
S-ABC为正三棱锥，过S作SD⊥AB于D，连结CD，
则∠SDC为斜高与底面ABC的夹角为α，
P为侧面SAB上任意一点，过P作PG⊥AB于G，作PQ⊥平面ABC于Q，
连结QG，则∠PGQ=α．
则PQ=PG•sinα，又PQ=PS•sinα，∴PG=PS．
∴P点在以S为焦点，以AB为准线的抛物线上．
即P点轨迹为抛物线．
故选：C．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了数学转化思想方法，考查了学生的空间想象和思维能力，属中档题．