Question

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3．
（1）求证AB⊥BC；
（2）如果AB=BC=2

3

，求AC与侧面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取AC中点O，连接PO、BO．推出PO⊥AC，利用侧面PAC⊥底面ABC，推出PO⊥底面ABC，说明△ABC为直角三角形，从而证明AB⊥BC
（2）取BC的中点为M，连接OM，PM，所以有OM，AO，PO，证明平面POM⊥平面PBC，取PM的中点N，连接ON，NC
证明ON⊥平面PBC，说明∠ONC即为AC与平面PBC所成的角．通过sin∠ONC=

ON

OC

=

1

2

，推得AC与平面PBC所成的角为

π

6

．

解答：解：（1）证明：取AC中点O，连接PO、BO．
∵PA=PC∴PO⊥AC
又∵侧面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA=PB=PC∴AO=BO=CO
∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BC

（2）解：取BC的中点为M，连接OM，PM，所以有OM=

1

2

AB=

3

，AO=

1

2

(2 3 )2+(2 3 )2

=

6

∴PO=

PA2-AO2

=

3

由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=

3

．
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连接ON，NC
则ON⊥PM，又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.ON=

1

2

PM=

1

2

(2 3 )2+(2 3 )2

=

6

2

，OC=

6

∴sin∠ONC=

ON

OC

=

1

2

∴∠ONC=

π

6

．
故AC与平面PBC所成的角为

π

6

．

点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．