Question

若圆x²+y²-4x+2y+1=0关于直线ax-2by-1=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（　　）

• A、(-∞，

  1

  4

  ]
• B、(-∞，

  1

  16

  ]
• C、(-

  1

  4

  ，0]
• D、[

  1

  16

  ，+∞)

Answer 1

分析：由题意知，圆心在直线上，得到a+b=

1

2

，若a，b都是正数，利用基本不等式求得0＜ab≤

1

16

，若当a，b中一个是正数另一个是负数或0时，ab≤0．

解答：解：∵圆x²+y²-4x+2y+1=0关于直线ax-2by-1=0（a，b∈R）对称，
∴圆心（2，-1）在直线ax-2by-1=0上，
∴2a+2b-1=0，a+b=

1

2

，若a，b都是正数，由基本不等式得

1

2

≥2

ab

＞0，
∴0＜ab≤

1

16

．
当a，b中一个是正数另一个是负数或0时，ab≤0，故 ab≤

1

16

，
故选B．

点评：本题考查圆关于直线对称问题，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想．