Question

已知全集S=R，集合A={x|x²-x-6＜0}，集合B={x|

x+4

x-2

＞0 }，集合C={x|y=

1

-(x2-4ax+3a2)

}，
（ I）求A∩B，A∩C_SB；
（ II）若A∩B⊆C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解一元二次不等式求出集合A，解分式不等式求出集合B，再利用补集的定义求出C_SB，从而求得A∩B、A∩C_SB．
（2）又C={x|（x-a）（x-3a）＜0}，欲使A∩B⊆C，须分类讨论：分a＞0、a=0、a＜0三种情况，分别求出实数a的取值范围，取并集，即得所求．

解答：解：（1）集合A={x|-2＜x＜3}，B={x|x＞2或x＜-4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}．
又C_SB={x|-4≤x≤2}，故A∩C_SB={x|-2＜x≤2}．
（2）又C={x|（x-a）（x-3a）＜0}，欲使A∩B⊆C，须分类讨论：
[1]当a＞0时，C={x|a＜x＜3a}，结合数轴可得：

a≤2 3a≥3

，解得1≤a≤2；
[2]当a=0时，C为空集，不符合题意，舍去；
[3]当a＜0时，C={x|3a＜x＜a}，结合数轴可知

a≥3 3a≤2

，不等式 无解；
综上所述，1≤a≤2，即实数a的取值范围为[1，2]．

点评：本题主要考查集合中参数的取值问题，一元二次不等式、分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题