Question

8．已知$\frac{3π}{2}$＜x＜2π，tanx=-2
（1）求cosx-sinx的值；
（2）求$\frac{{sin（360°-x）•cos（180°-x）-{{sin}^2}x}}{{cos（180°+x）•cos（90°-x）+{{cos}^2}x}}$的值；
（3）求cos2x的值．

Answer 1

分析 由tanx的值，及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx与cosx的值；
（1）把cosx与sinx的值代入原式计算即可得到结果；
（2）原式利用诱导公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（3）原式利用二倍角的三角函数定义化简，将cosx的值代入计算即可求出值．

解答 解：∵tanx=-2，且$\frac{3π}{2}$＜x＜2π，
∴cosx=$\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，sinx=-$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
（1）原式=$\frac{1}{\sqrt{5}}$+$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（2）原式=$\frac{{（-sinx）•（-cosx）-{{sin}^2}x}}{{（-cosx）•sinx+{{cos}^2}x}}$=$\frac{{sinxcosx-{{sin}^2}x}}{{-cosxsinx+{{cos}^2}x}}$=$\frac{{tanx-{{tan}^2}x}}{-tanx+1}$=-2；
（3）cos2x=2cos²x-1=2×$\frac{1}{5}$-1=$\frac{2}{5}$-1=-$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．