Question

已知函数f（x）=ax³+bx²，当x=1时，f（x）有极大值1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导，由题意可知

f(1)=a+b=1 f′(1)=3a+2b=0

，从而求a，b的值；
（Ⅱ）代入a，b的值，求极值处的极值及端点值，从而求函数f（x）在区间[-

1

2

，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，∴f′（x）=3ax²+2bx，
由题意可知

f(1)=a+b=1 f′(1)=3a+2b=0

，
解得a=-2，b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=-2x³+3x²，∴f′（x）=-6ax²+6x=-6x（x-1），
令f′（x）=-6ax²+6x=-6x（x-1）=0可解得，
x=0或x=1；
∵f（-

1

2

）=1，
f（0）=0，
f（1）=1，
f（2）=-4；
故函数f（x）在区间[-

1

2

，2]上的最大值是1，最小值为-4．

点评：本题考查了导数的综合应用及闭区间上的最值，属于中档题．