Question

直线l经过第一象限内的点M(a,b),与x,y轴的正半轴相交于点P,Q,求线段PQ的最小值,及取得最小值时直线的方程.

Answer 1

解析:设l的方程为=1(m,n＞0),

则=1,

引进待定常数(a^2α+b^2α)(α∈R).

由柯西不等式得

(m²+n²)(a^2α+b^2α)≥(ma^α+nb^α)²

=(ma^α+nb^α)²·1²

=(ma^α+nb^α)²()²

=［(ma^α+nb^a)()］²

≥［()²］²

=()⁴.

当且仅当时,第一个不等式取等号;当且仅当

即时,第二个不等式取等号.

因此当且仅当两个等号同时成立时,

即α=,亦即α=时,()()≥()⁴取等号.

所以|PQ|=≥(),

|PQ|_min=().

此时k=,

∴l:y-b=(x-a).