Question

【题目】已知Sn是正项数列{an}的前n项和，满足a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2，n∈N*．

（1）求证：{an}是等差数列；

（2）记bn＝2n，求数列{|an﹣bn|}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）Tn．

【解析】

（1）由anan+1＝6Sn﹣2当n≥2时，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2，两式相减得an+1﹣an﹣1＝6，再由数列的前几项推证出结果；

（2）由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，记cn＝bn﹣an，研究其单调性，判断其符号，再求前n项和Tn．

解：（1）证明：∵a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2①， ∴当n≥2时，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2②，

由①﹣②整理得an+1﹣an﹣1＝6，

∴数列{an}的奇数项、偶数项均是公差为6的等差数列，

又由题设条件可得a1＝2，a2＝5，a3＝8，a4＝11，

所以an+1﹣an＝3，故数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列；

（2）解：由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，又bn＝2n，记，

∴当n≥2时，cn单调递增，且c1＝0，c2＝﹣1，c3＝0，从第4项起，cn＞0，

∴当n＝1时，有T1＝0；当n＝2时，有T2＝1；

当n≥3时，有Tn＝﹣c1﹣c2+c3+c4+…+cn＝1+（23+24+…+2n）+n﹣2﹣3（3+4+5+…+n）

＝n﹣13＝2n+1，

故Tn．