【题目】已知椭圆:的左、右两个顶点分别为,点为椭圆上异于的一个动点,设直线的斜率分别为,若动点与的连线斜率分别为,且,记动点的轨迹为曲线.
(1)当时,求曲线的方程;
(2)已知点,直线与分别与曲线交于两点,设的面积为,的面积为,若,求的取值范围.
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【题目】已知圆与直线相切,圆心在轴上,且直线被圆截得的弦长为.
(1)求圆的方程;
(2)过点作斜率为的直线与圆交于两点,若直线与的斜率乘积为,且,求的值.
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【题目】设命题:函数的定义域为;命题:关于的方程有实根.
(1)如果是真命题,求实数的取值范围.
(2)如果命题“”为真命题,且“”为假命题,求实数的取值范围.
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【题目】世界卫生组织的最新研究报告显示,目前中国近视患者人数多达6亿,高中生和大学生的近视率均已超过七成,为了研究每周累计户外暴露时间(单位:小时)与近视发病率的关系,对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查,得到如下数据:
每周累积户外暴露时间(单位:小时) | 不少于28小时 | ||||
近视人数 | 21 | 39 | 37 | 2 | 1 |
不近视人数 | 3 | 37 | 52 | 5 | 3 |
(1)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中,随机抽取2名,求其中恰有一名学生不近视的概率;
(2)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”,根据以上数据完成如下列联表,并根据(2)中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系?
近视 | 不近视 | |
足够的户外暴露时间 | ||
不足够的户外暴露时间 |
附:
P | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】(1)如图(1)所示,椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,A、B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率;
(2)如图(2)所示,双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,求此双曲线的离心率.
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【题目】如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,E,F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线E,F的平面分别与棱BB′、DD′交于M,N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②当且仅当x=时,四边形MENF的面积最小;
③四边形MENF周长L=f(x),x∈[0,1]是单调函数;
④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h(x)为常函数;
以上命题中假命题的序号为( )
A. ①④B. ②C. ③D. ③④
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【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得: , , , ,
,线性回归模型的残差平方和,e8.0605≈3167,其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程=x+(精确到0.1);
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为
=;相关指数R2=.
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【题目】已知函数,.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若在区间上存在不相等的实数,使成立,求的取值范围;
(Ⅲ)若函数有两个不同的极值点,,求证:.
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