Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+a}{{x}^{2}}$为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）记集合A={y|y=f（x），x∈{1，-2，3}}，p=（lg2）²+lg2lg5+lg5+$\frac{1}{4}$，判断p与集合A的关系；
（3）当x∈[m，n]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[-$\frac{2}{m}$+2，-$\frac{n}{8}$+1]，求实数m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可．
（2）求出集合A，根据对数的运算法则进行化简，求出p的值，根据元素与集合的关系进行判断即可．
（3）判断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x），
即$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+a}{{x}^{2}}$，
即x²-（a+1）x+a=x²+a（x+1）+a，
即-（a+1）=a+1，
即a+1=0，解得，a=-1；
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
当x=1时，f（x）=0，当x=-2时，f（x）=$\frac{4-1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
当x=3时，f（x）=$\frac{9-1}{9}$=$\frac{8}{9}$；
故A={0，$\frac{3}{4}$，$\frac{8}{9}$}；
而p=（lg2）²+lg2lg5+lg5+$\frac{1}{4}$
=lg2（lg2+lg5）+lg5+$\frac{1}{4}$
=lg2+lg5+$\frac{1}{4}$
=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
故p∉A；
（3）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴当x＞0时，f（x）为增函数，
∵x∈[m，n]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[-$\frac{2}{m}$+2，-$\frac{n}{8}$+1]，
∴${\left\{\begin{array}{l}{f（m）=1-\frac{1}{{m}^{2}}=-\frac{2}{m}+2}\\{f（n）=1-\frac{1}{{n}^{2}}=-\frac{n}{8}+1}\end{array}\right.}^{\;}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{m}）^{2}-\frac{2}{m}+1=0}\\{（\frac{1}{n}）^{2}-\frac{n}{8}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{m}-1）^{2}=0}\\{{n}^{3}=8}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，元素和集合关系的判断，以及函数单调性的应用，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a的值是解决本题的关键．