Question

（2012•茂名二模）在实数集R中，我们定义的大小关系“》”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={

a

|

a

=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“》”．定义如下：
对于任意两个向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a1

》

a2

当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定义的关系“》”，给出如下四个命题：
①若

e1

=(1，0)，

e2

=(0，1)，

0

=(0，0)，则

e1

》

e2

》

0

；
②若

a1

》

a2

，

a2

》

a3

，则

a1

》

a3

；
③若

a1

》

a2

，则对于任意

a

∈D，

a1

+

a

》

a2

+

a

；
④对于任意向量

a

》

0

，

0

=(0，0)，若

a1

》

a2

，则

a

•

a1

》

a

•

a2

．
其中真命题的序号为（　　）

A．①②④

B．①②③

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根据已知中任意两个向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a1

》

a2

?“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，逐一判断四个结论的真假，可得答案．

解答：解：∵任意两个向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a1

》

a2

?“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
∵若

e1

=(1，0)，

e2

=(0，1)，

0

=(0，0)，则

e1

》

e2

》

0

，故①正确；
（2）设

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a3

=（x₃，y₃），
由

a1

》

a2

，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
由

a2

》

a3

，得“x₂＞x₃”或“x₂=x₃且y₂＞y₃”
若“x₁＞x₂＞x₃”，则

a1

》

a3

；
若“x₁＞x₂”，且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，则“x₁＞x₃”，所以

a1

》

a3

若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂＞x₃”，则x₁＞x₃，所以

a1

》

a3

若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，则x₁=x₃且y₁＞y₃，所以

a1

》

a3

综上所述，若

a1

》

a2

，

a2

》

a3

，则

a1

》

a3

，所以②正确
（3）设

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a

=（x，y），则

a1

+

a

=（x₁+x，y₁+y），

a2

+

a

=（x₂+x，y₂+y），
由

a1

》

a2

，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
若x₁＞x₂，则x₁+x＞x₂+x，所以

a1

+

a

》

a2

+

a

；
若x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂，则x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，所以

a1

+

a

》

a2

+

a

；
综上所述，若

a1

》

a2

，则对于任意

a

∈D，

a1

+

a

》

a2

+

a

；
所以③正确
（4）设

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a

=（x，y），
由

a

》

0

，得“x＞0”或“x=0且y＞0”
由

a1

》

a2

，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
若“x=0且y＞0”且“x₁＞x₂且y₁＜y₂”，则“xx₁=xx₂且yy₁＜yy₂”，
所以

a

•

a1

》

a

•

a2

不成立．
所以④不正确
综上所述，①②③正确，
故选：B

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“》”．正确理解新定义“》”的实质，是解答的关键．