Question

等差数列{a_n}中首项为a₁，公差为d，前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①数列{(

1

2

)an}为等比数列；
②若a₁₀=3，S₇=-7，则S₁₃=13；
③Sn=nan-

n(n-1)

2

d；
④若d＞0，则S_n一定有最大值．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：由(

1

2

)an-1•(

1

2

)an+1=(

1

2

)2an=[(

1

2

)an]2，数列{(

1

2

)an}为等比数列；由a₁₀=3，S₇=-7，求出a₁和d，进而得到S₁₃；nan-

n(n-1)

2

d=n[a1+(n-1)d] -

n(n-1)d

2

=na1+

n(n-1)d

2

=S_n；若d＞0，则S_n不一定有最大值．

解答：解：∵(

1

2

)an-1•(

1

2

)an+1=(

1

2

)2an=[(

1

2

)an]2，
∴数列{(

1

2

)an}为等比数列，故①成立；
∵

a1+9d=3 7a1+ 7×6 2 d=-7

，解得

a1=-3 d= 2 3

，
∴S13=13×(-3)+

13×12

2

=13，故②成立；
nan-

n(n-1)

2

d=n[a1+(n-1)d] -

n(n-1)d

2

=na1+

n(n-1)d

2

=S_n，故③成立；
若d＞0，则S_n不一定有最大值，故④不成立．
故答案：①②③．

点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．