Question

已知a，b，c为正实数，a+b+c=1. 求证:
(1)a²+b²+c²≥
(2)≤6

Answer 1

证明略

(1)证法一:a²+b²+c²－=(3a²+3b²+3c²－1)
=［3a²+3b²+3c²－(a+b+c)²］
=［3a²+3b²+3c²－a²－b²－c²－2ab－2ac－2bc］
=［(a－b)²+(b－c)²+(c－a)²］≥0 ∴a²+b²+c²≥
证法二:∵(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
≤a²+b²+c²+a²+b²+a²+c²+b²+c²
∴3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²="1 " ∴a²+b²+c²≥
证法三: ∵∴a²+b²+c²≥
∴a²+b²+c²≥
证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ.
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a²+b²+c²=(+α)²+(+β)²+(+γ)²
=+ (α+β+γ)+α²+β²+γ²
=+α²+β²+γ²≥
∴a²+b²+c²≥

∴原不等式成立.
证法二：

∴≤＜6
∴原不等式成立.