Question

2．设函数f（x）=$\frac{c^2}{{{x^2}+ax+a}}$，其中a为实数．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）的定义域为R，推出分母不为0，利用判别式求解，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求出函数的导数，通过导函数小于0，列出不等式求f（x）的单调递减区间．

解答 19解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，即当0＜a＜4时f（x）的定义域为R．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{x（x+a-2）{e^x}}}{{{{（{x^2}+ax+a）}^2}}}$，令f′（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．
由f′（x）=0，得x=0或x=2-a，又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2时，由f′（x）＜0得0＜x＜2-a；
当a=2时，f′（x）≥0；当2＜a＜4时，由f′（x）＜0得2-a＜x＜0，
即当0＜a＜2时，f（x）的单调减区间为（0，2-a）；
当2＜a＜4时，f（x）的单调减区间为（2-a，0）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的定义域的求法，函数恒成立问题的解决方法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．