Question

直线l过点P（-2，1）且斜率为k（k＞1），将直线l绕点P按逆时针方向旋转45⁰得直线m，若m和l分别与y轴交于R，Q两点，当k为何值时，△PQR的面积最小，求此最小值．

Answer 1

分析：用点斜式求出m和l的方程，求出R，Q两点的坐标，计算△PQR 的面积，变形后应用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：设l的倾斜角为α，则tanα=k，由k＞1知   45°＜α＜90°，∴m的倾斜角为α+45°，m的斜率为k′=

1+k

1-k

，
∴l的方程为y-1=k（x+2），m的方程为y-1=

1+k

1-k

(x+2)；  令x=0得：y_Q=2k+1，yR=

k+3

1-k

，
∴S△PQR=

1

2

|yQ-yR|×|-2|=|

2(k2+1)

k-1

|=2[(k-1)+

2

(k-1)

+2]≥4(

2

+1)．
由k-1=

2

k-1

，得k=

2

+1，或k=1-

2

（舍），∴当k=

2

+1时，
S_△PQR取得最小值4(

2

+1)．

点评：本题考查一条直线到另一直线的角的定义，直线的点斜式方程，求两直线的交点坐标以及基本不等式的应用．
把三角形的面积表达式变形后应用基本不等式是本题的难点和关键．