Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x+c的图象在点（2，f（x））处的切线方程为4x-y-5=0，且在[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤恒成立，试问这样的m是否存在？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函数f（x）=ax³+bx²-2x+c的图象在点（2，f（x））处的切线方程为4x-y-5=0，知f′（2）=4，f（2）=3；由在[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增知f′（1）=0，由此列方程组即可解得a、b、c的值
（Ⅱ）先由函数的导函数推知函数的单调性为在（-∞，-2）及（1，+∞）为增函数，在（-2，1）为减函数，要知道函数在区间[m，m+3]上的单调性，需要讨论m与1的大小，故下面分m＞1和0≤m≤1时研究问题，因为不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤恒成立，只需f（x）在区间[m，m+3]上的最大值与最小值之差不大于即可，从而将问题转化为在两种情况下求函数的值域问题
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax³+bx²-2x+c的图象在点（2，f（x））处的切线方程为4x-y-5=0
∴f（2）=4×2-5=3，f′（2）=4
∵函数f（x）在[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增
∴函数f（x）在x=1处取得极小值，∴f′（1）=0
∵f′（x）=3ax²+bx-2
由f′（1）=0，f′（2）=4，f（2）=3，得

解得a=，b=1，c=
∴f（x）=x³+x²-2x+
（Ⅱ）∵f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1）
∴f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）为增函数，在（-2，1）为减函数
设存在满足条件的m，则
①当m＞1时，f（x）在[m，m+3]上递增，故f（x）_max=f（m+3），f（x）_min=f（m）
∵f（m+3）-f（m）=（m+3）³+（m+3）²-2（m+3）-m³-m²+2m=3m²+12m+
∵不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤恒成立，∴3m²+12m+≤
解得-5≤m≤1，与条件矛盾，故舍去
②当0≤m≤1时，f（x）在[m，1）上递减，在（1，m]上递增
∴f（x）_max=max{f（m），f（m+3）}，f（x）_min=f（1）
∵f（m+3）-f（m）=（m+3）³+（m+3）²-2（m+3）-m³-m²+2m=3m²+12m+＞0  （0≤m≤1）
∴f（x）_max=f（m+3），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=恒成立
∴存在0≤m≤1，使不等式恒成立，
∴m∈[0，1]
点评：本题综合考查了导数的几何意义，导数在函数单调性的应用，导数在研究函数最值中的重要应用，不等式恒成立问题的解法