Question

已知点C（4，0）和直线l：x=1，P是动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0，设P点的轨迹是曲线M．
（1）求曲线M的方程；
（2）点O是坐标原点，是否存在斜率为1的直线m，使m与M交于A、B两点，且

CB

=2

OA

？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由 (

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．得 |

PQ

|=2|

PC

|．直接设出点P的坐标，代入整理即可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
（2）假设存在斜率为1的直线m：y=x+n，将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，整理得13年n²-8n+76=0，因其判别式△＜0，所以不存在斜率为1的直线m满足题意．

解答：解：（1）由(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0知|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，∴|

PC

|=2|

PQ

|．（2分）
设P（x，y），代入上式得

(x-4)2+y2

=2|x-1|，（4分）
平方整理得

x2

4

-

y2

12

=1．（6分）
（2）假设存在斜率为1的直线m：y=x+n，使m与M交于A、B两点，与

x2

4

-

y2

12

=1．联立，
得2x²-2nx-（n²+12）=0．设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴x1+x2=n，x1x2=-

n2+12

2

，①（8分）

CB

=2

OA

，得(x2-4，y2)=2(x1，y1)，∴

x2=2x1+4 y2=y1

，②（9分）
将②代入①得∴

x1= n-4 3 n2=-4( x 2 1 +2x1+3)

，（10分）
消去x₁，整理得n²-8n+76=0，因其判别式△=8²-4×13×76＜0
所以不存在斜率为1的直线m满足题意．（12分）

点评：本题综合考查了椭圆的定义，直线与抛物线的位置关系以及向量共线问题．是一道综合性很强的好题．