Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，F₁，F₂为左，右焦点，过F₂的直线与椭圆交于A，B两点，若△F₁AB面积的最大值为6，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 利用椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，化简方程，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理求出三角形的面积，换元、配方，结合△F₁AB的面积的最大值为6，即可求椭圆的方程．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴a=2c，
∴b=$\sqrt{3}$c，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
设直线l：x=my+c，代入椭圆方程可得（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$c，y₁y₂=-$\frac{9{c}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，
令4+3m²=t（t≥4），△F₁AB的面积S=$\frac{1}{2}$•2c•|y₁-y₂|=4$\sqrt{3}$c²•$\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
∴t=4时，S取得最大值c²，
∴c²=6，a²=24，b²=18，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{18}$=1．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查了三角形面积最值的求法，在解决涉及到直线与圆锥曲线的关系的问题中，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求解，此题是中高档题．