Question

【题目】已知椭圆C： =1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知中椭圆C的短轴长为2，可得：b=1，
则过上顶点E（0，1）和右焦点F（0，c）的直线方程为： ，
即x+cy﹣c=0，
由直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
故圆心M（2，1）到直线的距离d等于半径1，
即 ，
解得：c2=3，
则a2=4，
故椭圆C的标准方程为： ；
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
当直线AB的斜率不为0时，设直线 方程为：x=my+1，代入 得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，
则y1+y2= ，y1y2= ，
设直线TA，TB的斜率分别为k1 ， k2 ，
若∠OTA=∠OTB，
则k1+k2= + = =
= =0，
即2y1y2m+（y1+y2）（1﹣t）= + =0，
解得：t=4，
当直线AB的斜率为0时，t=4也满足条件，
综上，在x轴上存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB．
【解析】（I）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3，a2=4，即得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k1 ， k2和为0，可证得结论．
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．