Question

设数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9；数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2[1-（

1

2

）ⁿ]．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=

an

bn

（n∈N₊），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意求出等差数列的公差、首项，代入等差数列的通项公式求a_n，由题意和数列前n项和与通项公式的关系式求出b_n；
（Ⅱ）先利用条件求出c_n，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）因为数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9，
所以公差d=

1

2

(a5-a3)=2，
因为a₃=5，所以a₁=1．故a_n=2n-1，…（3分）
因为数列{b_n}的前n项和S_n=2[1-（

1

2

）ⁿ]．
所以当n=1时，S₁=b₁=1，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2[1-(

1

2

)n]-2[1-(

1

2

)n-1]=(

1

2

)n-1，
经验证当n=1时也适合上式，则bn=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=

an

bn

=(2n-1)•2n-1，
则Tn=1•20+3•21+5•22+…+(2n-3)•2n-2+(2n-1)n-1，
2Tn=1•2+3•21+…+(2n-3)•2n-1=(2n-1)•2n…（9分）
两式相减可得：
-Tn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-(2n-1)•2n
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n，
=-3+（3-2n）•2ⁿ…（11分）
所以Tn=3+(2n-3)•2n．…（12分）

点评：本题考查等差数列的通项公式，数列前n项和与通项公式的关系式，以及数列的求和方法：错位相减法，一般应先求数列的通项公式，再根据其特点选择求和方法，考查化简能力．