Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

，g(x)=

1

f(x)-a

．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若g（2x）-a•g（x）=0，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f（x）的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质f（0）=0，代入可求a
（2）令t=2^x＞0，则可转化为方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解，令h（t）=t²-at+1-a，则h（0）≤0，可求
（3）法一：由a=2可得，f(x)=2-

2

2x+1

，证易f（x）在R上是增函数，假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有

f(m)=m f(n)=n

判断方程的解的存在情况即可
法二：易知f（x）在R上是增函数，假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有

f(m)=m f(n)=n

即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根，而由2-

2

2x+1

=x得2x+1=-

2

x-2

，令h（x）=2^x+1，g(x)=-

2

x-2

结合函数g（x）在（-∞，0]上为单调递增函数可得（x）＞g（x），即方程2x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上无解

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）∴f（0）=0
∴a=1（2分）
（2）∵g(x)=

1

f(x)-a

=-

2x+1

2

（1分）
∴g(2x)-ag(x)=-

22x+1

2

+a×

2x+1

2

=0（1分）
令t=2^x＞0，则问题转化为方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t²-at+1-a，则h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在实数m、n满足题意．（1分）
f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有

2- 2 2m+1 =m…(1) 2- 2 2n+1 =n…(2)

（2分）
∵m＜0∴0＜2^m＜1
∴0＜2-

2

2m+1

＜1
∴（1）式左边＞0，右边＜0，故（1）式无解．
同理（2）式无解．
故不存在实数m、n满足题意．（2分）
法二：不存在实数m、n满足题意．（1分）
易知f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有

f(m)=m f(n)=n

即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根．（1分）
由2-

2

2x+1

=x得2x+1=-

2

x-2

令h（x）=2^x+1，g(x)=-

2

x-2

（1分）
∵函数g（x）在（-∞，0]上为单调递增函数
∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=1
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x）
∴方程2x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上无解
故不存在实数m、n满足题意．（2分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性单调性及函数的零点与方程的根的相互转化，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能灵活应用．