Question

9．已知函数$f（x）=2{cos^2}\frac{x}{2}+\sqrt{3}sinx$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；
（Ⅱ）若$tan\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用将次公式与和角公式化简f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1．故f（x）最大值为3，令x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ求出x的集合．
（2）使用二倍角公式对f（α）进行弦化切，用tan$\frac{α}{2}$来表示f（α）．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=1+cosx+$\sqrt{3}$sinx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴当sin（x+$\frac{π}{6}$）=1时，f（x）取得最大值3．
此时x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{3}$+2kπ，∴此时相应的x的取值集合为$\{x|x=2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$．
（Ⅱ）f（α）=2cos²$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$sinα=2cos²$\frac{α}{2}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}+2\sqrt{3}sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}{si{n}^{2}\frac{α}{2}+co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2+2\sqrt{3}tan\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{8+4\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，三角函数的性质，属于中档题．