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    设函数f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函数，又f（ｘ）在（０，＋∞）上是减函数，并且f（ｘ）＜０，指出F（ｘ）＝在（－∞，０）上的增减性?并证明.

     

    答案：
    解析：

    证明：设ｘ１，ｘ２∈（－∞，０），且ｘ１＜ｘ２，

    则－ｘ１＞－ｘ２＞０

    ∵f（ｘ）在(0，＋∞)上是减函数.

    ∴f（－ｘ１）＜f（－ｘ２）    ①

    又∵f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函数，

    ∴f（－ｘ１）＝－f（ｘ１），f（－ｘ２）＝－f（ｘ２）

    由①式得－f（ｘ１）＜－f（ｘ２）

    ∴f（ｘ１）＞f（ｘ２）

    当ｘ１＜ｘ２＜０时，F（ｘ２）－F（ｘ１）＝－

    ∵F（ｘ２）－F（ｘ１）＝

    又∵f（ｘ）在（０，＋∞）上总小于0.

    ∴f（ｘ１）＝－f（－ｘ１）＞０，f（ｘ２）＝－f（－ｘ２）＞０

    又f（ｘ１）＞f（ｘ２）

    ∴F（ｘ２）－F（ｘ１）＞０且ｘ１－ｘ２＜０，

    故F（ｘ）＝在（－∞，０）上是增函数

     


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