Question

某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震．当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64am²，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积am²，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建的住房面积都比上一年新建的住房面积增加am²．设第n（n≥1，且n∈N）年新城区的住房总面积为a_nm²，该地的住房总面积为b_nm²．
（1）求a_n；
（2）若每年拆除4am²，比较a_n+1与b_n的大小．

Answer 1

分析：（1）设第n年新城区的住房建设面积为c_nm²，则由题意，可得当1≤n≤4时，cn=2n-1a；当n≥5时，c_n=（n+4）a，由此可得结论；
（2）确定数列的通项，分类作差比较，即可得到结论．

解答：解：（1）设第n年新城区的住房建设面积为c_nm²，则
当1≤n≤4时，cn=2n-1a；当n≥5时，c_n=（n+4）a．
所以，当1≤n≤4时，an=(2n-1)a；
当n≥5时，a_n=a+2a+4a+8a+9a+…+（n+4）a=

n2+9n-22

2

a．
故an=

(2n-1)a(1≤n≤4) n2+9n-22 2 a(n≥5).

．（6分）
（2）1≤n≤3时，an+1=(2n+1-1)a，bn=(2n-1)a+64a-4na，显然有a_n+1＜b_n．
n=4时，a_n+1=a₅=24a，b_n=b₄=63a，此时a_n+1＜b_n．
5≤n≤16时，an+1=

n2+11n-12

2

a，bn=

n2+9n-22

2

a+64a-4na，
所以a_n+1-b_n=（5n-59）a．
所以，5≤n≤11时，a_n+1＜b_n；12≤n≤16时，a_n+1＞b_n．
n≥17时，显然a_n+1＞b_n．
故当1≤n≤11时，a_n+1＜b_n；当 n≥12时，a_n+1＞b_n．（13分）

点评：本题考查数列的应用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键．