Question

【题目】已知函数f（x）是R上的奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）判断并证明f（x）的单调性；

（3）若对任意实数x，不等式f[f（x）﹣m]0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，b＝1，（2）单调递增，见解析（3）（﹣∞，2]．

【解析】

（1）由奇函数的定义求解，求得，再由求得，再验证此时

符合题意．

（2）由单调性定义证明；

（3）先计算出函数值，因此由单调性得f（x）﹣m＞﹣3，即m＜f（x）+3＝4，于是求出4的最小值或取值范围即可．

（1）∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（0）＝0，即，

所以，a＝1，

又f（﹣1）+f（1）＝0，

所以，

∴b＝1，此时是奇函数；

（2）由（1）可得f（x）1，

设x1x2，则．

则f（x1）﹣f（x2）0，

∴f（x1）f（x2），

故f（x）在R上单调递增，

（3）对任意实数x，不等式f[f（x）﹣m]0恒成立，

∴不等式f[f（x）﹣m]恒成立，且f（﹣3），

由（2）可知f（x）在R上单调递增，

∴f（x）﹣m﹣3，即mf（x）+3＝4，

结合指数函数的性质可知，，

∴2<44，

∴m≤2，

故m的范围（﹣∞，2]．