Question

4．某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是 $\frac{1}{3}$．
（1）求小明在4次投篮中有三次投中的概率；
（2）求小明在4次投篮后的总得分X的分布列．

Answer 1

分析 （1）小明每次投篮投中的概率都是 $\frac{1}{3}$，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出小明在4次投篮中有三次投中的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）∵小明每次投篮投中的概率都是 $\frac{1}{3}$．
∴小明在4次投篮中有三次投中的概率：
p=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$．
（2）由题意知X的可能取值为0，2，4，6，8，
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（X=2）=C${\;}_{4}^{1}$（$\frac{1}{3}$）（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{32}{81}$，
P（X=4）=C$\frac{2}{4}$^{（$\frac{1}{3}$）2}（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{8}{27}$，
P（X=6）=${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{3}$）³（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{81}$，
P（X=8）=（$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{1}{81}$．
所以X的分布列为：

X	0	2	4	6	8
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．