Question

10．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≤0}\\{x≥1}\\{x+y-7≤0}\end{array}\right.$，则$\frac{y+x}{x}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{14}{5}$，7]
• B． （-∞，$\frac{14}{5}$]∪[7，+∞）
• C． （-∞，4]∪[7，+∞）
• D． （4，7]

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，设z=$\frac{y+x}{x}$=$\frac{y}{x}$+1，利用z的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
设z=$\frac{y+x}{x}$=$\frac{y}{x}$+1，
设k=$\frac{y}{x}$，则z=k+1，k的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，
由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（1，6），
此时OA的斜率k=6，
即$z=\frac{y}{x}$+1的最大值为6+1=7．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$），
此时OB的斜率k=$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{9}{5}$，$z=\frac{y}{x}$+1的最小值为$\frac{9}{5}$+1=$\frac{14}{5}$．
故$\frac{14}{5}$≤z≤7，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．