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若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)-1为奇函数;
(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
分析:(1)要判断函数的奇偶性方法是f(x)+f(-x)=0.现在要判断f(x)-1的奇偶性即就是判断[f(x)-1]+[f(-x)-1]是否等于0.首先令x1=x2=0得到f(0)=1;然后令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1证出即可;
(2)要判断函数的增减性,就是在自变量范围中任意取两个x1<x2∈R,判断出f(x1)与f(x2)的大小即可知道增减性.
(3)已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,则f(4)=f(2)+f(2)-1?f(2)=3.由不等式
f(3m2-m-2)<3,得f(3m2-m-2)<f(2),由(2)知,f(x)是R上的增函数,得到3m2-m-2<2,求出解集即可.
解答:解:(1)定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,
令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1?f(0)=1,
令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,
∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,
∴f(x)-1为奇函数.
(2)由(1)知,f(x)-1为奇函数,
∴f(-x)-1=-[f(x)-1],
任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,
∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-[f(x1)-1]=
f(x2)-f(x1)+1.
∵当x>0时,f(x)>1,
∴f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函数.
(3)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,
∴f(4)=f(2)+f(2)-1?f(2)=3.
由不等式f(3m2-m-2)<3,得f(3m2-m-2)<f(2),
由(2)知,f(x)是R上的增函数,
∴3m2-m-2<2,∴3m2-m-4<0,∴-1<m<
4
3

∴不等式f(3m2-m-2)<3的解集为(-1,
4
3
).
点评:考查学生掌握判断函数奇偶性能力和判断函数增减性的能力,灵活运用题中已知条件的能力.
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②若f(x)为单函数,x1、x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
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④若函数f(x)是周期函数,则f(x)一定不是单函数;
⑤若函数f(x)是奇函数,则f(x)一定是单函数.
其中的真命题的序号是
②④
②④

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