Question

【题目】已知函数f（x）=mln（x+1）﹣nx在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，且 ，其中 m，n∈R．
（Ⅰ）求m，n的值，并求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=﹣x2+2x，确定非负实数a的取值范围，使不等式f（x）+x≥ag（x）在[0，+∞）上恒成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）对f（x）求导，得 ，
若f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，
则 ，又 ，则 ，
由 ，求得 ，
所以f（x）=2ln（x+1）﹣x，定义域为（﹣1，+∞），
对f（x）求导，得 ，
由f'（x）＞0，求得﹣1＜x＜1，即f（x）的单调递增区间为（﹣1，1）；
由f'（x）＜0，求得x＞1，即f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式f（x）+x≥ag（x）即是2ln（x+1）≥a（﹣x2+2x），
于是问题可转化为不等式2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x）≥0在[0，+∞）上恒成立时，确定非负实数a的取值范围，
记h（x）=2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x），则 ，
① 当a=0时，对 ，则h（x）在[0，+∞）上为增函数，
②当a＞0时，令h'（x）=0，则ax2+1﹣a=0，当1﹣a≥0，
即0＜a≤1时，对x≥0，h'（x）＞0，则h（x）在[0，+∞）上为增函数，
所以h（x）=h（0）=0，此时命题成立；
当1﹣a＜0，即a＞1时，由ax2+1﹣a=0，
求得 ．h（x），h'（x）的变化情况如表：

x	0	（0，x2）	x2	（x2 ， +∞）
h'（x）		﹣	0	+
h（x）		↘	极小值	↗

因为h（x）min=h（x2）＜h（0）=0，
所以当x≥0时，命题不成立
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，从而求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可转化为不等式2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x）≥0在[0，+∞）上恒成立时，确定非负实数a的取值范围，记h（x）=2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x），根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．