Question

已知函数f(t)=log2t，t∈ [

2

，8]．
（1）求f（t）的值域G；
（2）若对于G内的所有实数x，函数g（x）=x²-2x-m²有最小值-2，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的单调性求得log₂

2

≤log₂t≤log₂8，由此求得f（t）的值域G．
（2）函数g（x）=x²-2x-m² =（x-1）²-1-m²，根据二次函数的性质以及它在闭区间上的最小值为2，求得实数m的值．

解答：解：（1）∵f（t）=log₂t在t∈[

2

，8]上是单调递增的，∴log₂

2

≤log₂t≤log₂8．
即

1

2

≤f（t）≤3．∴f（t）的值域G为[

1

2

，3]．------（7分）
（2）函数g（x）=x²-2x-m² =（x-1）²-1-m²，
∴当x=1时，函数g（x）有最小值-1-m²=-2，解得m=±1．

点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值，利用对数函数的单调性求值域的方法，属于中档题．