Question

16．（1）一个圆经过点P（2，-1），和直线x-y=1相切，并且圆心在直线y=-2x上，求这个圆的方程．
（2）已知两点A（4，9）和B（6，3）两点，求以AB为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆心C的坐标为（a，-2a），利用圆经过A（2，-1），和直线x-y=1相切，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（2）设以AB为直径的圆的圆心为C（a，b），利用中点坐标公式即可得到a，b．再利用两点间的距离公式可得圆的半径r=|AC|，进而得到圆的标准方程．

解答 解：（1）因为圆心C在直线y=-2x上，可设圆心为C（a，-2a）．
则点C到直线x-y=1的距离d=$\frac{|3a-1|}{\sqrt{2}}$
据题意，d=|CP|，则（$\frac{|3a-1|}{\sqrt{2}}$）²=（a-2）²+（-2a+1）²，
∴a²-10a+9=0
∴a=1或9．
∴圆心为C（1，-2），半径r=d=$\sqrt{2}$，或圆心为C（9，-18），半径r=d=13$\sqrt{2}$
∴所求圆的方程是（x-1）²+（ y+2）²=2或（x-9）²+（ y+18）²=338．
（2）设以AB为直径的圆的圆心为C（a，b），则a=5，b=6．∴C（5，6）．
∴圆的半径r=|AC|=$\sqrt{（4-5）^{2}+（9-6）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴以AB为直径的圆的方程为（x-5）²+（y-6）²=10．

点评 本题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，考查点到直线的距离公式及两点间的距离公式，考查了中点坐标公式、两点间的距离公式，充分运用圆的性质是关键．