Question

设x₁、x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知得，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根，再根据x₁＜2＜x₂＜4，可得

f′(2)＜0 f′(4)＞0

，为关于a，b的不等式组，利用不等式的性质可求证f′（-2）＞3；
（2）利用韦达定理先把b用x₁、x₂表示出来，分0＜x₁＜2及-2＜x₁＜0两种情况进行讨论，把b表示为关于x₁的函数，借助函数的单调性可求出b的范围．

解答：（1）证明：由已知得：f'（x）=ax²+（b-1）x+1，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根．
由于x1＜2＜x2＜4故

f′ (2)＜0 f′ (4)＞0

即

4a+2b-1＜0① 16a+4b-3＞0  ②

，
由于f'（-2）=4a-2b+3，
①×（-3）+②得：4a-2b＞0，
∴f'（-2）=4a-2b+3＞3．
（2）解：由韦达定理得，

x1+x2= 1-b a x1x2= 1 a ＞0

，
故1-b=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

即b=1-

1

x1

-

1

x2

，
①当0＜x1＜2时，则 x1x2=

1

a

＞0 得 x2＞0
这时，由|x₂-x₁|=2，得x₂=x₁+2，
即b=1-(

1

x1

+

1

x1+2

)=1-

2(x1+1)

(x1+1)2-1

=1-

2

(x1+1)- 1 x1+1

为增函数（也可用求导法来证），
故b＜1-(

1

2

+

1

4

)=

1

4

．
②当-2＜x1＜0时，有x1-x2=2，则b=1-(

1

x1

+

1

x1-2

)也为增函数，
故这时，b＞1-(

1

-2

+

1

-2-2

)=

7

4

，
综上，b的取值范围是(-∞， 

1

4

)∪(

7

4

，+∞)．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及二次方程根的分布问题等知识，解决第（2）题的关键是通过讨论把b表示成关于x₁的函数，利用函数性质处理．