Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，BC=，E为AB的中点．
（1）证明：PE⊥平面ABCD；　 （2）求二面角A-PD-B的大小．

Answer 1

证明：（1）设BD与CE交于点O
tan∠BDC=tan∠BCE=
∴∠OBC+∠OCB=90°
∴∠BOC=90°
∴BD⊥CD
又∵PC⊥BD，PC∩CE=C
∴BD⊥平面PCE
∴BD⊥PE
又∵侧面PAB为正三角形，E为AB的中点．
∴PE⊥AB
∴PE⊥平面ABCD；
解：（2）由（1）中，PE⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
又∵AD⊥AB
∴平面PAB⊥平面PAD
设F为PA的中点，连接BF，则BF⊥PA
∴BF⊥平面PAD，
过F作FG⊥PD，连接BG
则BG⊥PD
即∠BGF为二面角A-PD-B的平面角
在△PFG及△BGF中
FG=PF•sin∠APD=1×=
∴tan∠BGF==3
∴二面角A-PD-B的大小为arctan3
分析：（1）设BD与CE交于点O，由已知中底面ABCD为矩形，AB=2，BC=，由勾股定理可得BD⊥CD，又由已知中PC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PCE，进而BD⊥PE，又由E为AB的中点，侧面PAB为正三角形，由等腰三角形三线合一可得PE⊥AB，结合线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD；
（2）设F为PA的中点，连接BF，根据二面角的定义，可得∠BGF为二面角A-PD-B的平面角，解△PFG及△BGF，即可得到二面角A-PD-B的大小．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理，（2）的关键是找到二面角A-PD-B的平面角∠BGF．