Question

已知函数f （x）=2x³-3（2+a²）x²+6（1+a²）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数的导数，再由函数f （x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a²）=0的根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函数f （x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a²]上是减函数，在区间[1+a²，2]上是增函数，故函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是f（1），f（2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x²-6（2+a²）x+6（1+a²）
=6（x-1）（x-1-a²），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a²，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a²，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a²+3，5}max=5，
即3a²+3≤5，
解此不等式，得
-

6

3

≤a≤

6

3

，
所以a的取值范围是-

6

3

≤a≤

6

3

．（15分）

点评：本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识，同时考查抽象概括能力和运算求解能力．