【题目】已知椭圆 的长轴长是短轴长的两倍,且过点C(2,1),点C关于原点O的对称点为点D.
(1)求椭圆E的方程;
(2)点P在椭圆E上,直线CP和DP的斜率都存在且不为0,试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理由:
(3)平行于CD的直线l交椭圆E于M,N两点,求△CMN面积的最大值,并求此时直线l的方程.
【答案】
(1)解:∵2a=22b,∴a=2b.
设椭圆方程为 .
椭圆E过点C(2,1),
代入椭圆方程得 ,解得
,则
,
所以所求椭圆E的方程为 ;
(2)解:依题意得D(﹣2,﹣1)在椭圆E上.
CP和DP的斜率KCP和KDP均存在.
设P(x,y),则 ,
,
①
又∵点P在椭圆E上,
∴ ,∴x2=8﹣4y2,代入①得,
.
所以CP和DP的斜率KCP和KDP之积为定值
(3)解:CD的斜率为 ,∵CD平行于直线l,∴设直线l的方程为
.
由 ,
消去y,整理得x2+2tx+(2t2﹣4)=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2).
由 ,得|MN|=
= .
.
所以,
当且仅当t2=4﹣t2时取等号,即t2=2时取等号
所以△MNC面积的最大值为2.
此时直线l的方程
【解析】(1)由椭圆长轴长是短轴长的两倍设出椭圆的方程,把点C的坐标代入椭圆方程可求解b,则椭圆的方程可求;(2)设出P点的坐标,写出直线CP和DP的斜率,由点P在椭圆上得到P点横纵坐标的关系式,代入斜率乘积的表达式整理可得直线CP和DP的斜率之积为定值;(3)由直线l平行于CD,设出直线l的斜截式方程,和椭圆方程联立后求出弦MN的长度,由点到直线的距离公式求出C到MN的距离,代入面积公式后利用基本不等式求最大值,并求出使面积最大时的直线l的方程.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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【题目】定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
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【题目】如图,AB、CD是圆的两条平行弦,BE∥AC,BE交CD于E、交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,PC=ED=1,PA=2.
(1)求AC的长;
(2)试比较BE与EF的长度关系.
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【题目】如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)ADDE=2PB2 .
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【题目】已知点A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3λ,4λ)(λ≠0),
=-4
,若抛物线y2=ax经过A和B两点,则a的值为( )
A. 2 B. -2
C. -4 D. 4
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【题目】已知点P(x0,3)与点Q(x0,4)分别在椭圆=1与抛物线y2=2px(p>0)上.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是抛物线上的两点,∠AQB的角平分线与x轴垂直,求直线AB在y轴上的截距的取值范围.
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【题目】已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1,sn是数列{an}的前n项和,且满足:
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N )
(1)若a1 , a2 , a3成等比数列,求实数λ的值;
(2)若λ= ,求Sn .
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【题目】已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
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【题目】设函数f (x)=(x+1)lnx﹣a (x﹣1)在x=e处的切线与y轴相交于点(0,2﹣e).
(1)求a的值;
(2)函数f (x)能否在x=1处取得极值?若能取得,求此极值;若不能,请说明理由.
(3)当1<x<2时,试比较 与
大小.
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