Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为 ． （Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得 = ， 两边平方可得x2+y2﹣2x+1= （x2﹣4x+4），
即有 +y2=1，
可得轨迹E的方程为 +y2=1；
（Ⅱ）联立 ，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1），
由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则x1+x2=﹣ ，
由题意可设C（﹣ ，0），D（0，m），
△OAC的面积与△OBD的面积相等|AC|=|BD|恒成立
线段AB的中点和线段CD中点重合．
即有﹣ =﹣ ，解得k=± ，
即存在定值k=± ，对于满足条件的m≠0，且|m|＜
的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等
【解析】（Ⅰ）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，两边平方整理即可得到所求轨迹E的方程；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得C，D的坐标，由△OAC的面积与△OBD的面积相等|AC|=|BD|恒成立线段AB的中点和线段CD中点重合．运用中点坐标公式，解方程可得k的值，即可判断存在．