Question

16．（文）二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[t，t+2]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）-f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决；
（2）由题意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x²-3x+1-m＞0在[t，t+2]上恒成立．设g（x）=x²-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，讨论区间与对称轴的关系，运用单调性，可得最小值，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，即有2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）由题意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．
即x²-3x+1-m＞0在[t，t+2]上恒成立．
设g（x）=x²-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，
①当t＞1.5时，g（x）在[t，t+2]递增，
可得最小值为g（t）=t²-3t+1-m＞0，
此时，m＜t²-3t+1；
②当-$\frac{1}{2}$≤t≤$\frac{3}{2}$时，g（x）最小值为g（1.5）=-m-$\frac{5}{4}$＞0，
此时，m＜-$\frac{5}{4}$；
③当t＜-$\frac{1}{2}$时，g（x）在[1，2]递减，
可得g（x）最小值为g（t+2）=t²+t-1-m＞0
此时m＜t²+t-1．

点评 本小题主要考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．