Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）函数h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k，（k∈R），试判断函数h（x）的零点个数？

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依题意，对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x²-bsinx=x²+bsinx，
∴2bsinx=0对于任意实数x都成立，∴b=0
∴f（x）=x²-2．
（2）∵函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，∴g′（x）=2x+2+ （x＞0）
∵函数g（x）在（0，1）上单调递减，
∴在区间（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上单调递减
∴a≤-4．
（3）∵函数h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k═ln（1+x²）-x²+1-k，
∴h′（x）=
令h′（x）==0，解得x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值ln2+	单调递减	极小值1	单调递增	极大值ln2+	单调递减

∴①当，函数没有零点；
②当1＜k＜ln2+，函数有四个零点；
③当k=ln2+，函数有两个零点；
④当k=1，函数有三个零点；
⑤当k＜1，函数有两个零点；
分析：（1）先表示出F（x）的表达式，再根据对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，我们可以求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式；
（2）将（1）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分离参数法，我们就可以求实数a的取值范围；
（3）利用导数法，求出h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k的极值，将k与极值进行比较，即可得到结论
点评：本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式，考查了函数的零点以及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．