【题目】已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)若函数的图象在处的切线为,当实数变化时,求证:直线经过定点;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析. (2).
【解析】分析:(Ⅰ)利用导数求出切线斜率,点斜式可得切线方程为直线的方程为,可得直线经过定点;(Ⅱ)分两种情况讨论的范围,函数有两个极值点等价于有两个不同的解,分别利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理与函数图象,列不等式可筛选出函数有两个极值点的实数的取值范围.
详解:(Ⅰ)∵,∴,.
又∵,∴直线的方程为,
∴直线经过定点(-2,0).
(Ⅱ)∵,∴.
设,则.
当时,,即在上单调递增,则最多有一个零点,函数至多有一个极值点,与条件不符;
当时,由,得.
当时,;当时,.
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴,即.
令,解得.
∵,,∴,
∵在上单调递增,∴在上有唯一零点,
当时,;当时,.
∴在上有唯一极值点.
又∵当时,.
设,其中,则,
∴,∴.
即当时,,
而 ,
∵在上单调递减,∴在上有唯一零点,
当时,;当时,.
∴在上有唯一极值点.
综上所述,当有两个极值点时,.
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【题目】先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
已知,,求证:.
证明:构造函数,
即
.
因为对一切,恒有,
所以,从而得.
(1)若,,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.
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【题目】在四棱锥中,底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心,且各顶点都在同一球面上,若该四棱锥的侧棱长为,体积为4,且四棱锥的高为整数,则此球的半径等于( )(参考公式:)
A. 2B. C. 4D.
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【题目】已知函数,,其中且,为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)是否存在,对任意的,任意的,都有?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】在四棱锥中,底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心,且各顶点都在同一球面上,若该四棱锥的侧棱长为,体积为4,且四棱锥的高为整数,则此球的半径等于(参考公式:)( )
A. B. C. D.
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