Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m），
（Ⅰ）求m²+k²的最小值；
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|·|OE|，
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意：设直线l：y=kx+n(n≠0)，
由，消y得：，
设A、B，AB的中点E，
则由韦达定理得：=，
即，，
所以中点E的坐标为E，
因为O、E、D三点在同一直线上，所以k_OE=k_OD，
即，解得，
所以m²+k²=，当且仅当k=1时取等号，
即m²+k²的最小值为2。
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意知：n＞0，因为直线OD的方程为，
所以由得交点G的纵坐标为，
又因为，，且|OG|²=|OD|·|OE|，
所以，
又由（Ⅰ）知：，所以解得k=n，
所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），
令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点(-1，0)；
（ⅱ）假设点B，G关于x轴对称，则有△ABG的外接圆的圆心在x轴上，
又在线段AB的中垂线上，由（ⅰ）知点G，
所以点B，
又因为直线l过定点(-1，0)，
所以直线l的斜率为，
又因为，所以解得或6，
又因为，所以m²=6舍去，即m²=1，
此时k=1，m=1，E，
AB的中垂线为2x+2y+1=0，
圆心坐标为，G，圆半径为，
圆的方程为；
综上所述，点B，G关于x轴对称，此时△ABG的外接圆的方程为。