Question

在班级活动中，某小组的4 名男生和2 名女生站成一排表演节目：
（Ⅰ）两名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
（Ⅱ）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（Ⅲ）4名男生相邻有多少种不同的排法？
（Ⅳ）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）

Answer 1

解：（I）由题意知两名女生不能相邻，可以先排列男生，有A₄⁴=24种结果，
再在男生写出的5个空中排列两名女生，有A₅²=20种结果，
根据分步计数原理知共有24×20=480种结果
即两名女生不能相邻的排列方法有480种结果，
（II）由题意知可以分成两种情况甲站在右端有A₅⁵=120种结果，
甲不在右端，甲有4种情况，乙也有4种结果，余下的4个人在四个位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384种结果，
∴根据分步计数原理知共有120+384=504种结果
（III）4名同学相邻可以把四名男生作为一个元素，和2名女生共有三个元素排列，有A₃³=6种结果，
其中四名男生内部还有一个排列，共有6A₄⁴=144种结果．
（Ⅳ）首先把6名同学全排列，共有A₆⁶=720种结果，
甲乙丙三人内部的排列共有A₃³=6种结果，
要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，有=120种结果．
即甲乙丙按照高矮的顺序排列共有120种结果．
分析：（I）两名女生不能相邻，可以先排列男生，有A₄⁴种结果，再在男生写出的5个空中排列两名女生，有A₅²种结果，根据分步计数原理知共有24×20种结果．
（II）分成两种情况甲站在右端有A₅⁵=120种结果，甲不在右端，甲有4种情况，乙也有4种结果，余下的4个人在四个位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384种结果，相加得到结果．
（III）4名同学相邻可以把四名男生作为一个元素，和2名女生共有三个元素排列，有A₃³=6种结果，其中四名男生内部还有一个排列，共有6A₄⁴=144种结果
（Ⅳ）首先把6名同学全排列，共有A₆⁶种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A₃³种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，有种结果．
点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，本题解题的关键是不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法，按照高矮顺序排列采用全排列除以三个人之间的排列．