【题目】在三棱柱中中,侧面为矩形, 是的中点, 与交于点,且平面.
(1)证明: ;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)证明线线垂直,一般利用线面垂直判定与性质定理,经多次转化得到,而线线垂直的寻找与论证,往往需要结合平几知识进行:如本题就可利用三角形相似得到,再由线面垂直平面得到线线垂直,因此得到平面,即(2)由(1)中垂直关系可建立空间直角坐标系,利用空间向量求线面角:先求出各点坐标,表示出直线方向向量,再利用方程组解出平面法向量,利用向量数量积求出向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求解
试题解析:(1)由题意,
又,∴,
∴,
∵,∴,又平面,∴,
∵与交于点,∴平面,又平面,
∴.
(2)
如图,分别以所在直线为轴,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,所以.
设直线与平面所成角为,则
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【题目】平面直角坐标系xOy中,已知F1、F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,且右焦点F2的坐标为(,0),点(,)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆C上任取一点P,点Q在PO的延长线上,且=2.
(1)当点P在椭圆C上运动时,求点Q形成的轨迹E的方程;
(2)若过点P的直线l:y=x+m交(1)中的曲线E于A,B两点,求△ABQ面积的最大值.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1⊥底面ABC,AC⊥BC,四边形BB1C1C为正方形,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥平面AB1C.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为(),曲线的参数方程为
(1)写出直线及曲线的直角坐标方程;
(2)过点平行于直线的直线与曲线交于、两点,若,求点轨迹的直角坐标方程.
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【题目】直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.
(1)证明:CB1⊥BA1;
(2)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1-ABA1的体积.
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【题目】三国魏人刘徽,自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题:今有望海岛,立两表齐,高三丈,前後相去千步,令後表与前表相直。从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合。从後表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合。问岛高及去表各几何?翻译如下:要测量海岛上一座山峰的高度,立两根高三丈的标杆和,前后两竿相距步,使后标杆杆脚与前标杆杆脚与山峰脚在同一直线上,从前标杆杆脚退行步到,人眼著地观测到岛峰,、、、三点共线,从后标杆杆脚退行步到,人眼著地观测到岛峰,、、三点也共线,则山峰的高度__________步.(古制步尺,里丈尺步)
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