Question

17．下列函数既是奇函数又是偶函数的是（　　）

• A． $f（x）=x+\frac{1}{x}$
• B． $f（x）=\frac{1}{x^2}$
• C． $f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$
• D． $f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}+1，x＞0\\-\frac{1}{2}{x^2}-1，x＜0\end{array}\right.$

Answer 1

分析 根据奇偶性的定义和函数定义域必须关于原点对称判断即可．

解答 解：对于A：$f（x）=x+\frac{1}{x}$，则f（-x）=$-x-\frac{1}{x}$=-f（x），是奇函数．
对于B：$f（x）=\frac{1}{x^2}$，则f（-x）=$\frac{1}{（-x）^{2}}=\frac{1}{{x}^{2}}=f（x）$是偶函数．
对于C：$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$，∵定义域为{-1，1}，则f（-x）=f（x）=0，f（-x）=-f（x）=0，∴既是奇函数又是偶函数
对于D：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}+1，x＞0\\-\frac{1}{2}{x^2}-1，x＜0\end{array}\right.$，则f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}+1，x＜0}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1，x＞0}\end{array}\right.$⇒f（-x）=-f（x）是奇函数．
故选C．

点评 本题考查了函数的奇偶性的定义判断，注意奇偶性判断的前提条件是函数定义域必须关于原点对称．属于基础题．