Question

如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ，矩形PNMQ的面积记为S．
（1）求S与θ之间的函数关系式；
（2）求矩形PNMQ面积的最大值及相应的θ值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PON中，利用直角三角形中的边角关系求得 PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，以及MQ和OM，可得关于矩形的面积S的解析式，化简可得结果．
（2）由S的解析式并利用正弦函数的定义域有何值域可得，当2θ+30°=90°时，sin（2θ+30°）_max=1，可得当θ=30°时，Smax=

3

3

R2-

3

6

R2，由此可得结论．

解答：解：（1）在Rt△PON中，PN=Rsinθ，ON=Rcosθ．
∵四边形PNMQ为矩形，∴MQ=PN=Rsinθ．…（2分）
故在Rt△OMQ中，OM=

MQ

tan60°

=

3

3

Rsinθ，
所以MN=ON-OM=Rcosθ-

3

3

Rsinθ．…（4分）
则S=PN•MN=Rsinθ(Rcosθ-

3

3

Rsinθ)．…（6分）
=R2(sinθcosθ-

3

3

sin2θ)=R2(

1

2

sin2θ-

3

3

1-cos2θ

2

)=

3

3

R2sin(2θ+30°)-

3

6

R2．…（11分）
（2）因为当2θ+30°=90°时，sin（2θ+30°）_max=1，所以，当θ=30°时，Smax=

3

3

R2-

3

6

R2，
所以矩形PNMQ面积的最大值为

3

6

R2，∠BOP=30°．…（14分）

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．