Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1满足f（-1）=0，且对于任意的x均有f（x）≥0成立．
（1）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（2）设$\frac{1}{3}$≤t≤1，若h（x）=tf（x）-（2t+2）x-t+1在区间[1，3]上的最大值记为M（t），最小值记为N（t），令r（t）=M（t）-N（t），求r（t）的解析式及其最小值．

Answer 1

分析 （1）求出a，b，代入g（x），则g（x）的对称轴≤-2或≥2．
（2）讨论h（x）在[1，3]上的单调性，求出M（t），N（t），计算r（t）及其最小值．

解答 解：（1）∵对于任意的x均有f（x）≥0成立，且f（-1）=0，
∴△=b²-4a=0，-$\frac{b}{2a}$=-1．解得a=1，b=2．∴f（x）=x²+2x+1．
∴g（x）=x²+（2-k）x+1，∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，∴$\frac{k-2}{2}$≤-2，或$\frac{k-2}{2}$≥2，解得k≤-2，或k≥6．
∴实数k的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（2）h（x）=tx²-2x+1，∵$\frac{1}{3}$≤t≤1，∴1≤$\frac{1}{t}$≤3．∴N（t）=h（$\frac{1}{t}$）=1-$\frac{1}{t}$．
若3-$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{t}$-1，即$\frac{1}{3}$≤t≤$\frac{1}{2}$时，M（t）=h（1）=t-1，
若3-$\frac{1}{t}$＞$\frac{1}{t}$-1，即$\frac{1}{2}$＜t≤1时，M（t）=h（3）=9t-5，
∴r（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{t}-2，\frac{1}{3}≤t≤\frac{1}{2}}\\{9t+\frac{1}{t}-6，\frac{1}{2}＜t≤1}\end{array}\right.$，
当$\frac{1}{3}$≤t≤$\frac{1}{2}$时，r′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，∴$\frac{1}{2}$r（t）在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是减函数，r（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
当$\frac{1}{2}$＜t≤1时，r′（t）=9-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，∴r（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，r（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴r（t）的最小值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值及分段函数的最值，分类讨论思想．属于中档题．