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    15．求证：圆的内接矩形中正方形的面积最大．

    分析 设内接矩形的长和宽为x和y，圆的半径为r，根据圆内接矩形的性质可知矩形的对角线为圆的直径，利用勾股定理求得x2+y2的值，进而利用重要不等式求得xy的范围及矩形面积的范围求得答案．

    解答 证明：设内接矩形的长和宽为x和y，圆的半径为r，
    根据圆内接矩形的性质可知矩形的对角线为圆的直径2r，
    故x2+y2=4r2，
    ∴x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时等号成立）
    ∴xy≤2r2，
    即矩形的面积最大时，为边长是$\sqrt{2}$r的正方形．

    点评 本题主要考查了圆内接多边形的性质和判定．考查了重要不等式的灵活运用．

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