Question

（2012•河南模拟）已知数列{a_n}满足：a₁=2且an+1=

2(n+1)an

an+n

（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{

n

an

-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≥n+

1

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，知a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，故2(

n+1

an+1

-1)=

n

an

-1，由

1

a1

-1=-

1

2

，能够证明数列{

n

an

-1}为等比数列，从而能够求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

n

=1+

1

2n-1

，故

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≥n+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=n+1-(

1

2

)n≥n+

1

n

，由此能够证明

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≥n+

1

2

（n∈N^*）．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足：a₁=2且an+1=

2(n+1)an

an+n

（n∈N^*），
∴a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，
即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n
故2(

n+1

an+1

-1)=

n

an

-1，
又

1

a1

-1=-

1

2

，
所以数列{

n

an

-1}为等比数列，…（3分）
∴

n

an

-1=(-

1

2

)(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴an=n+

n

2n-1

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

n

=1+

1

2n-1

…（8分）
∴

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≥n+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=n+

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=n+1-(

1

2

)n≥n+

1

n

，
所以

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≥n+

1

2

（n∈N^*）．     …（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．