Question

数列{a_n}满足a₁=2，a₂=5，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）由题意知：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）．
∴

an+2-an+1

an+1-an

=2，故数列{an+1-an}是等比数列（4分）．
（2）由（1）知数列{a_n+1-a_n}以是a₂-a₁=3为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1，
∴a₂-a₁=3•2⁰，a₃-a₂=3•2¹，a₄-a₃=3•2²，…，a_n-a_n-1=3•2^n-2，
∴an-a1=

3(1-2n-1)

1-2

=3(2n-1-1)．即an=3•2n-1-1.（8分）
（3）∵a_n=3•2^n-1-1，
∴s_n=3•

1-2n

1-2

-n=3•2ⁿ-n-3．（12分）